Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение

¬ДЕЛ(x,А)→(ДЕЛ(x,28)→¬ДЕЛ(x,49))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

(PRO100 ЕГЭ) Обозначим через НОД(n, m, k) утверждение «наибольший делитель чисел n и m равен k». Сколько существует натуральных значений A на отрезке [1; 1000], при которых формула

НОД(A, 420, 2) \/ (¬НОД(A, x, 12) → ¬НОД(110, x, 11))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

(М. Попков) Заданы два отрезка P = [16, 84] и Q = [27, 43], лежащие на числовой прямой. Также существует отрезок А. Он таков, что формула

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

истинна, причем переменная x может принимать любые значения. Какую наибольшую длину может принимать отрезок А? Определите и запишите в ответ целое число.

(М. Попков) Заданы два отрезка P = [6, 17] и Q = [13, 28], лежащие на числовой прямой. Также существует отрезок А. Он таков, что формула

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

истинна, причем переменная x может принимать любые значения. Какую наибольшую длину может принимать отрезок А? Определите и запишите в ответ целое число.

(М. Попков) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 12) → ¬ДЕЛ(x, 42)) ∨ (x + A ≥ 4096)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

(М. Попков) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(¬ДЕЛ(x, 17) ∨ ¬ДЕЛ(x, 12)) → ¬ДЕЛ(x, А)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

(М. Попков) Для какого наименьшего целого числа А выражение

((x>68)∨(y>89))∨(2x−7y<A)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

(М. Попков) Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(x & А $\ne$ 0) $\to$ ((x & 168 $=$ 0) $\to$ (x & 69 $\ne$ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

(М. Попков) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) $\vee$ (ДЕЛ(x, 133) $\to$ ¬ДЕЛ(x, 95))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

(Л. Шастин) Обозначим через $ТРЕУГ(n,m,k)$ утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон $n$, $m$ и $k$». Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула

ТРЕУГ(A,7,x)→((МАКС(x+5,14)⩽27)≡¬ТРЕУГ(36,21,x))

тождественно истинна (т.е. принимает значение $1$) при любом натуральном значении переменной $x$?

Примечание. $МАКС(а,b)=а$, если $а>b$, и $МАКС(а,b)=b$, если $а\le b$.

(Л. Шастин) Обозначим через $ДЕЛ(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; и пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[120;180]$. Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x,A)∨((x∈B)→(¬ДЕЛ(x,16)∨(x+A≤204)))

тождественно истинна (т.е. принимает значение $1$ ) при любом натуральном значении переменной $x$?

(Л. Шастин) Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ формула

¬((x<7)∨(y≥3x+A−20)∨(x≥34)∨(y<121))

тождественно ложна, т.е. принимает значение 0 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

(Л. Шастин) На числовой прямой даны два отрезка: $В=[54;120]$ и $С=[78;151]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

(x∈С)→(((x∈B)∧¬(x∈A))→¬(x∈C))

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

(Л. Шастин) Обозначим через $m\&n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14\&5$ = ${1110}_2\&{0101}_2={0100}_2=4$. Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула

x&47=0∨(x&13=0→¬(x&A=0))

истинна при всех натуральных значениях переменной $x$ ?

(Л. Шастин) На числовой прямой даны два отрезка: $В=[34;72]$ и $С=[32;61]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $А$, что логическое выражение

((x∈B)→(x∈A))∧(¬(x∈C)∨(x∈A))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

(М. Шагитов) Обозначим через ДЕЛ(x, y) утверждение «натуральное число x делится без остатка на натуральное число y». Для какого наибольшего натурального числа A формула $$(\text{ДЕЛ}(x,15)\wedge \neg \text{ДЕЛ}(x,10))\to (A<x+50)$$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной x?

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }. Известно, что выражение

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ (¬(x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

(C. Горбачёв) Для какого наименьшего натурального числа A выражение

(x>56)∨(y≥x)∨(3x−y<A)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

(Л. Шастин) Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа $А$ формула

¬(x&79=0)∧(x&31=0→¬(x&А=0))

истинна при всех целых значениях переменной $х\in [90;100]$ ?