(А.Богданов) Обозначим частное от деления целого числа $a$ на натуральное число $b$ как $a//b$, остаток как $a\%b$, а округление до целого в меньшую сторону как ЦЕЛОЕ(). Алгоритм вычисления функции $F(n)$, где $n$ – неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=0$ при $n=0$;
$F(n)=F(n//10)$, если $n>0$ и $n\%10=0$;
$F(n)=F(n-1)–1$, если $n>0$ и $n\%10>0$ и ЦЕЛОЕ($lg(n)$) чётно;
$F(n)=F(n-1)+1$, если $n>0$ и $n\%10>0$ и ЦЕЛОЕ($lg(n)$) нечётно;

Определите количество значений $n$, не превышающих ${10}^6$, для которых $F(n)=0$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=3$, при $n=1$
F(n)=F(n−1)+5·(n−1), при чётном $n>1$;
$F(n)=F(n-1)+7$, при нечётном $n>1$;

Чему равно значение величины $F(8765)$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=0$ при $n=0$
$F(n)=F(n/2)-1$ при чётных $n>0$
$F(n)=1+F(n-1)$ при нечётных $n>0$

Сколько существует чисел $n$, меньших 1000, для которых значение $F(n)$ будет равно 0?

(Д. Статный) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, заданное следующими соотношениями:

$F(n)=n$, если $n<10$.
F(n)=F(n%10)+F(n//10), если $n$ - чётное число.
$F(n)=F({10}^n)+F(n\%10)-2$, в других случаях.

Сколько существует значений $n$, меньших ${10}^{11}$, для которых $F(n)=0$?

(PRO100 ЕГЭ) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=n$, при $n<10$;
F(n)=(n%10)×F(n//10), если $n>9$.

Найдите количество чисел nnn из отрезка [1 000 000 000 000;9 999 999 999 999], для которых $F(n)$ не равно нулю.
$a//b$ – обозначает деление числа a нацело на число b.
$a\%b$ – обозначает нахождение остатка при делении числа a на число b.

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ — натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=2$ при $n<3$;
F(n)=F(n−2)−F(n−1)+2, если $n>2$ и при этом $n$ чётно;
F(n)=F(n−1)−F(n−2)−2, если $n>2$ и при этом $n$ нечётно;

Чему равно значение функции $F(29)$?

Алгоритм вычисления функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$, если $n=1$
F(n)=F(n−1)·(2n−3), если $n>1$.

Чему равно значение выражения $F(516)/F(513)$?

(А.Богданов) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=n$ при $n<10$;
F(n)=F(n//10)+F(n%10), если $10\le n<1000$;
F(n)=F(n//1000)−F(n%1000), если $n\ge 1000$.

Определите количество значений $n$, не превышающих ${10}^6$, для которых $F(n)=0$?

(А. Рогов) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n>3000$;
$F(n)=F(n+1)-n+1$, если $n\le 3000$ и при этом $n$ чётно;
$F(n)=F(n+2)-2·n+2$, если $n\le 3000$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение выражения $2\times F(39)-2\times F(34)$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n<3$;
$F(n)=F(n-1)+2n-1$, если $n>2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n)=F(n-2)+2n$, если $n>2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение выражения $F(21)-F(19)$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n<3$;
$F(n)=F(n-1)+n$, если $n>2$ и при этом $n$ чётно;
$F(n)=F(n-2)+2n$, если $n>2$ и при этом $n$ нечётно.

Чему равно значение выражения $F(23)-F(21)$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n=1$;
$F(n)=n\times F(n-1)$, если $n>1$.

Чему равно значение выражения $(F(2023)-F(2022))/F(2020)$?

(А. Игнатюк) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое число, задан следующими соотношениями

$F(n)=n$, если $n\le 0$,
$F(n)=F(n//2)+5n$, если $n>0$ и $n$ – чётное.
F(n)=F(n−4)−F(n−6), если $n>0$ и $n$ – нечётное.

Определите значение выражения: F(70)+F(56)−F(66)−F(44).

(Д. Тараскин) Функция $F(x,y)$ задается рекуррентным соотношением:

$F(0,y)=y+1$
$F(x,0)=F(x-1,1)$
F(x,y)=F(x−1,F(x,y−1))

Чему равно значение выражения $F(3,11)$?

(А.Богданов) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=0$, если $n<10$
F(n)=F(n//10)+(n//10%10)−(n%10) , если $n\ge 10$

Укажите количество таких чисел $n$ не превышающих ${10}^{10}$, для которых $F(n)$ равно 9

$a//b$ – обозначает деление числа a нацело на число b.
$a\%b$ – обозначает нахождение остатка при делении числа a на число b.

(Д. Тараскин) Функция $F(x,y)$ задается рекуррентным соотношением:

$F(x,0)=x$
$F(x,y)=F(y,x\%y)$

Для скольких чисел $x$ в диапазоне $[1;1000]$ функция $F(x,48)$ будет равна 1?

Примечание: % означает операцию остатка от деления

(Д. Тараскин) Числа Каталана - числовая последовательность, которая часто встречается в задачах комбинаторики. В частности, этим числом можно охарактеризовать количество правильных скобочных последовательностей длины 2n.
Это значение можно посчитать по рекуррентному соотношению:

$C_0=1$
$C_n=\sum _{i=0}^{n-1}{C}_i{C}_{n-1-i}$ для $n\ge 1$

Посчитайте значение функции $C_{12}$

(Е. Джобс) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=n$, при $n\le 10$
$F(n)=1$, при $n\ge 10000$
$F(n)=n\%10+F(n+2)$, при $10<n<10000$ и четном значении $n$,
F(n)=F(n−2)−(n−1)%10, при $10<n<10000$ и нечетном значении $n$.

Чему равно значение выражения $F(4500)+F(5515)$? В ответе запишите только целое число.
Примечание: операция a % b находит остаток от деления числа a на число b.

(М. Ишимов) Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n)=1$ при $n=1$;
F(n)=F(n−1)+n·F(n−1), если $n>1$.

Чему равно значение выражения $F(5997)/F(5995)$?

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ – натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(1)=2$
$F(n)=F(n-1)·3^{n\%5}/3^{n\%7}$ для $n>1$

Чему равно значение выражения $F(1025)/F(1030)$? В ответе запишите только целое число.
Примечание: операция a % b находит остаток от деления числа a на число b.