Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из любой кучи один или три камня. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится менее 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой меньше 10 камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #960

Задание 19
Новая
Открыть задачу

В начальный момент в кучах было по S камней. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Задача #961

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, в которой в первой куче было 13 камней, а во второй S, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #962

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, в которой в первой куче было 13 камней, а во второй S, найдите два таких значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Уровень ЕГЭ

(М. Шагитов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находится стопка журналов. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить на стопку один или пять журналов, либо увеличить количество журналов на стопке в пять раз. У каждого игрока есть неограниченное количество журналов, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество журналов на стопке становится не менее 60. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший стопку из 60 журналов или больше. В начальный момент на стопке было S журналов; 1 ≤ S ≤ 59.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #940

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #941

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения , при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #942

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(А. Рогов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 348.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 348 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 347.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #928

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #929

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А. Рогов) Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #930

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А. Рогов) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 159. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 159 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 130.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #908

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #909

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #910

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 камня или удвоить количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 73. Игрок, первым получивший кучу из не менее 73 камней, считается победителем.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 72.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника

Задача #880

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #881

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания.

Задача #882

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом;

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Уровень ЕГЭ

(М. Ишимов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится больше 419.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 420 камней или больше.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 419.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #856

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #857

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(М. Ишимов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #858

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(М. Ишимов) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(Грачев Н.) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, или выполнить СУПЕРХОД - добавить в кучу сумму всех делителей S, исключая 1 и само число S. СУПЕРХОД можно выполнить всего лишь один раз за игру. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 43.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 43 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 42.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #832

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом при неудачном ходе Пети.

Задача #833

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором Петя выигрывает своим вторым ходом при любой игре Вани.

Задача #834

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых Петя выигрывает своим первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(В. Рыбальченко) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками стоит фигурка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) передвинуть фигурку на две клетки;
б) передвинуть фигурку на три клетки;
в) передвинуть фигурку в клетку со значением в два раза больше.

Задача #808

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Так игрок из клетки 5 может попасть в клетки 7, 8 и 10 используя соответствующие ходы.
Игра завершается в тот момент, когда фигурка попадает на клетку со значением 2200 или больше, побеждает игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент фигурка может стоять на клетке со значением – S, 1 ≤ S ≤ 2199
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите максимальное значение S, при котором это возможно.

Задача #809

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное и максимальное значение S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #810

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 43.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 43 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 42.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #776

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #777

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #778

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в четыре раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 78. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 78 или более камня. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 77. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #755

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.

Задача #756

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два минимальных значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия вторым ходом, при этом он не может гарантировано выиграть за один ход.

Задача #757

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 31.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 31 или более камня.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 30.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #730

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом после неудачного хода Вани.

Задача #731

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, при этом он не может выиграть за один ход.

Задача #732

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым или третьим ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 255. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 255 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 237.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #701

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #702

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.


Задача #703

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.


Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 443.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 443 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 442.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #687

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #688

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #689

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #670

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #671

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Задача #672

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите два наименьших значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу, количество камней, которое является делителем текущего количества камней в куче, кроме единицы и самого числа, если количество камней в куче является простым числом, то игрок может добавить только один камень. Например, пусть в куче было 8 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 10 камней или из 12 камней. Или пусть в куче было 7 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 8 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода, которого количество камней в куче становится не менее 63. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 62. Укажите такое наименьшее значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задача #647

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Задача #648

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите сначала наименьшее, затем наибольшее значение.

Задача #649

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Сложнее ЕГЭ

(Д. Статный) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня; увеличить количество камней в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней куче становится не менее 100.

Игрок, который получил 100 и более камней, считается проигравшим.

В начальный момент в первой куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 99.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #625

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя выигрывает, совершив всего лишь один ход, не используя умножение.

Задача #626

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, причём

одновременно выполняются два условия:

— Ваня не может гарантированно выиграть, совершив один ход;

— Ваня может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Петя.

Ответы укажите в порядке возрастания.

Задача #627

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимально и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть, совершив один ход;

— Петя может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе укажите сначала минимальное, а затем - максимальное.

Сложнее ЕГЭ

(Д. Статный) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит S куч камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один, три, пять, семь, восемь, двенадцать камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.


Игра завершается в тот момент, когда количество камней в кучах суммарно становится не менее 97.


Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарное количество камней 97 или более камней.


В начальный момент в кучах было количество камней, образующее арифметическую прогрессию с шагом в M камней. Где в первой куче M камней; 2<=M<=20.

Например, для 3-х куч: (M; 2M; 3M)


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #583

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #584

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Укажите такое максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию в один ход.

Задача #585

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите максимальное и минимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию в два хода, но не может выиграть раньше. В ответ укажите сначала максимальное, а затем - минимальное.

Уровень ЕГЭ

(PRO100 ЕГЭ) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или три камня или одиннадцать камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится числом, оканчивающимся на ноль. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, количество камней в которой оканчивается на ноль. К примеру, игра заканчивается, когда в куче стало 10, 200, 6800 камней.

В начальный момент в куче было S камней. S – двузначное число, не оканчивающиеся на ноль.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #576

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #577

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задача #578

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите сумму значений S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.


Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 351.


Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 351 или более камня.


В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 350.


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #553

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #554

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём

одновременно выполняются два условия:


— Петя не может выиграть за один ход;

— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.


Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #555

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:


— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может уменьшить количество камней в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) или убрать из кучи 12 камней. Например, из кучи из 35 камней можно получить кучу из 11 или 23 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S ≥ 13).

Задача #530

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. При каком максимальном значении S такое возможно?

Задача #531

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;

• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #532

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19 определите, сколько существует значений S, при которых одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Показаны 101-120 из 153
← Назад
1 2 3 … 5 6 7 8
Вперёд →